Question

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а окружность, описанную около треугольника $ABC$, — в точке $M$.

а) Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$, если $AC = 3$, $BC = 8$, $AB = 9$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства вписанных углов и теорему о биссектрисе для нахождения положения точек, затем применить теорему синусов.

**а) Доказательство**

Вписанные углы $\angle BAM$ и $\angle BCM$ опираются на одну дугу $BM$, поэтому:
$$\angle BAM = \angle BCM$$

Аналогично, углы $\angle MAC$ и $\angle MBC$ опираются на дугу $MC$:
$$\angle MAC = \angle MBC$$

Поскольку $AM$ — биссектриса угла $A$, имеем:
$$\angle BAM = \angle MAC$$

Из этих трёх равенств получаем:
$$\angle MBC = \angle MCB$$

Следовательно, треугольник $BMC$ равнобедренный, что и требовалось доказать.

**б) Нахождение радиуса**

По теореме о биссектрисе треугольника:
$$\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{3} = 3$$

Так как $BC = BK + KC = 8$, находим:
$$BK = 6, \quad KC = 2$$

Вписанные углы $\angle ABC$ и $\angle AMC$ опираются на одну дугу $AC$:
$$\angle ABC = \angle AMC$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$$

$$9 = 81 + 64 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos \angle ABC$$

$$\cos \angle ABC = \frac{136}{144} = \frac{17}{18}$$

Найдём синус этого угла:
$$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - \frac{289}{324} = \frac{35}{324}$$

$$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{35}}{18}$$

Поскольку $\angle AMC = \angle ABC$:
$$\sin \angle AMC = \frac{\sqrt{35}}{18}$$

В треугольнике $KMC$ угол $\angle KMC = \angle AMC$ (так как точки $A$, $K$, $M$ лежат на одной прямой). По теореме синусов для треугольника $KMC$:
$$R = \frac{KC}{2 \sin \angle KMC} = \frac{2}{2 \cdot \frac{\sqrt{35}}{18}} = \frac{18\sqrt{35}}{35}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/8QtZp2biklmdyMD8nfZuakg4BRNLrKnqKh6XoHjP.png)

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике