Question

Решите неравенство $\log_3^2(x^2 - 16) - 5\log_3(x^2 - 16) + 6 \geq 0$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной для сведения к квадратному неравенству, затем вернуться к исходной переменной с учётом области определения.

**Область определения:**

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2 - 16 > 0$$

$$(x - 4)(x + 4) > 0$$

$$x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$$

**Замена переменной:**

Обозначим $t = \log_3(x^2 - 16)$. Тогда неравенство принимает вид:

$$t^2 - 5t + 6 \geq 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$t_1 = 2, \quad t_2 = 3$$

Решение квадратного неравенства:

$$t \leq 2 \quad 	ext{или} \quad t \geq 3$$

**Обратная замена:**

Рассмотрим первый случай:

$$\log_3(x^2 - 16) \leq 2$$

$$x^2 - 16 \leq 9$$

$$x^2 \leq 25$$

$$x \in [-5; 5]$$

Рассмотрим второй случай:

$$\log_3(x^2 - 16) \geq 3$$

$$x^2 - 16 \geq 27$$

$$x^2 \geq 43$$

$$x \in (-\infty; -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}; +\infty)$$

**Пересечение с областью определения:**

Объединяем оба решения: $[-5; 5] \cup (-\infty; -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}; +\infty)$.

Пересекаем с ограничением $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$:

- Из $[-5; 5]$ остаётся $[-5; -4) \cup (4; 5]$.
- Из $(-\infty; -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}; +\infty)$ остаётся $(-\infty; -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}; +\infty)$ (так как $\sqrt{43} > 5$).

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике