Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 69\cos x + 71x + 48$ на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

117

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить её знак и определить, где функция достигает минимума.

Вычислим производную:

$$y' = -69\sin x + 71$$

Приравняем к нулю:

$$-69\sin x + 71 = 0$$

$$\sin x = \frac{71}{69}$$

Поскольку $\frac{71}{69} > 1$, а синус не превышает 1, уравнение решений не имеет.

Так как производная $y' = -69\sin x + 71$ всегда положительна (максимум $\sin x$ равен 1, поэтому $-69 \cdot 1 + 71 = 2 > 0$), функция монотонно возрастает на всём отрезке.

Следовательно, минимум достигается в левом конце промежутка:

$$y(0) = 69\cos 0 + 71 \cdot 0 + 48 = 69 \cdot 1 + 0 + 48 = 117$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике