Question

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $5\sqrt{2}$ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/dAJbVXOw5aARs8WHFXqO4rossEa5rlyOPCW7wz95.jpg)

Accepted Answer

5

Answer

Идея решения: выразить образующую конуса через радиус основания, затем связать площади боковых поверхностей через условие на высоту.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$$S_{	ext{конуса}} = \pi R l$$

где $R$ — радиус основания, $l$ — образующая.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{	ext{цилиндра}} = 2\pi R h = 5\sqrt{2}$$

Образующую конуса найдём по теореме Пифагора:

$$l^2 = R^2 + h^2$$

По условию $R = h$, поэтому:

$$l^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 \Rightarrow l = R\sqrt{2}$$

Подставим в формулу площади боковой поверхности конуса:

$$S_{	ext{конуса}} = \pi R \cdot R\sqrt{2} = \pi R^2 \sqrt{2}$$

Из условия на цилиндр при $h = R$:

$$2\pi R^2 = 5\sqrt{2} \Rightarrow \pi R^2 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно:

$$S_{	ext{конуса}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике