Question

Решите неравенство:

$$\log_{0{,}5}\left( x^{3}-3x^{2}-9x+27 \right)\leq\log_{0{,}25}(x-3)^{4}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить подлогарифмическое выражение, привести логарифмы к одному основанию, применить свойства логарифмической функции и найти пересечение с областью допустимых значений.

**Шаг 1. Разложение подлогарифмического выражения**

Преобразуем многочлен:

$$x^{3}-3x^{2}-9x+27 = x(x^{2}-9) - 3(x^{2}-9) = (x^{2}-9)(x-3)$$

$$= (x-3)(x+3)(x-3) = (x-3)^{2}(x+3)$$

**Шаг 2. Область допустимых значений**

Требуется:

$$\begin{cases}
(x-3)^{2}(x+3) > 0 \
(x-3)^{4} > 0
\end{cases}$$

Из первого условия: $x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Из второго условия: $x 
eq 3$.

Объединяя: $x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

**Шаг 3. Приведение к одному основанию**

Заметим, что $0{,}25 = (0{,}5)^{2}$, поэтому $\log_{0{,}25} = \frac{1}{2}\log_{0{,}5}$.

Исходное неравенство принимает вид:

$$\log_{0{,}5}\left((x-3)^{2}(x+3)ight) \leq \frac{1}{2}\log_{0{,}5}(x-3)^{4}$$

$$\log_{0{,}5}\left((x-3)^{2}(x+3)ight) \leq \log_{0{,}5}(x-3)^{2}$$

**Шаг 4. Применение свойства логарифма**

Поскольку основание $0{,}5 < 1$, логарифмическая функция убывает. При переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется:

$$(x-3)^{2}(x+3) \geq (x-3)^{2}$$

**Шаг 5. Решение алгебраического неравенства**

$$(x-3)^{2}(x+3) - (x-3)^{2} \geq 0$$

$$(x-3)^{2}((x+3) - 1) \geq 0$$

$$(x-3)^{2}(x+2) \geq 0$$

Решение: $x \in [-2; +\infty)$.

**Шаг 6. Пересечение с ОДЗ**

Пересекаем $[-2; +\infty)$ с $(-3; 3) \cup (3; +\infty)$:

$$[-2; +\infty) \cap ((-3; 3) \cup (3; +\infty)) = [-2; 3) \cup (3; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике