Question

Решите неравенство:

$$\frac{9^x - 2 \cdot 3^{x+1} + 4}{3^x - 5} + \frac{2 \cdot 3^{x+1} - 51}{3^x - 9} \leq 3^x + 5$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 3^x$, приведём дроби к общему знаменателю и решим рациональное неравенство методом интервалов. Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$. Тогда $3^{x+1} = 3t$ и неравенство переписывается как: $$\frac{t^2 - 6t + 4}{t - 5} + \frac{6t - 51}{t - 9} \leq t + 5$$ Разложим числители. Заметим, что $t^2 - 6t + 4 = (t - 5)(t - 1) - 1$ и $6t - 51 = 6(t - 9) + 3$. Подставим: $$\frac{(t - 1)(t - 5) - 1}{t - 5} + \frac{6(t - 9) + 3}{t - 9} \leq t + 5$$ $$t - 1 - \frac{1}{t - 5} + 6 + \frac{3}{t - 9} \leq t + 5$$ $$t + 5 - \frac{1}{t - 5} + \frac{3}{t - 9} \leq t + 5$$ $$-\frac{1}{t - 5} + \frac{3}{t - 9} \leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{-(t - 9) + 3(t - 5)}{(t - 5)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{-t + 9 + 3t - 15}{(t - 5)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{2t - 6}{(t - 5)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{2(t - 3)}{(t - 5)(t - 9)} \leq 0$$ Решаем методом интервалов. Критические точки: $t = 3$, $t = 5$, $t = 9$. Анализируя знаки на интервалах: - $t < 3$: знак $-$, неравенство выполнено; - $3 < t < 5$: знак $+$, неравенство не выполнено; - $5 < t < 9$: знак $-$, неравенство выполнено; - $t > 9$: знак $+$, неравенство не выполнено. При $t = 3$ дробь равна нулю, условие выполнено. Получаем: $t \leq 3$ или $5 < t < 9$. Возвращаемся к переменной $x$: При $t \leq 3$: $3^x \leq 3$, откуда $x \leq 1$. При $5 < t < 9$: $5 < 3^x < 9$, откуда $\log_3 5 < x < 2$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике