Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_2 x^2 - \log_3 x^2}{\log_6^2(2x^2 - 10x + 12{,}5) + 1} \geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить числитель через свойства логарифмов, заметить, что знаменатель всегда положителен, и свести задачу к решению неравенства для логарифма.

Преобразуем числитель, используя свойство $\log_a b^2 = 2\log_a |b|$:

$$\frac{2\log_2 |x| - 2\log_3 |x|}{\log_6^2(2x^2 - 10x + 12{,}5) + 1} \geq 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{2(\log_2 |x| - \log_3 |x|)}{\log_6^2(2x^2 - 10x + 12{,}5) + 1} \geq 0$$

Определим область допустимых значений:
- $|x| > 0$, то есть $x 
eq 0$;
- $2x^2 - 10x + 12{,}5 > 0$, то есть $2(x - 2{,}5)^2 > 0$, откуда $x 
eq 2{,}5$.

Знаменатель представляет собой сумму квадрата и положительного числа, поэтому всегда положителен. Неравенство равносильно:

$$\log_2 |x| - \log_3 |x| \geq 0$$

Перейдём к одному основанию, используя формулу замены: $\log_3 |x| = \frac{\log_2 |x|}{\log_2 3}$:

$$\log_2 |x| - \frac{\log_2 |x|}{\log_2 3} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\log_2 3 \cdot \log_2 |x| - \log_2 |x|}{\log_2 3} \geq 0$$

Вынесем $\log_2 |x|$:

$$\frac{\log_2 |x| \cdot (\log_2 3 - 1)}{\log_2 3} \geq 0$$

Так как $\log_2 3 > 1$, имеем $\log_2 3 - 1 > 0$ и $\log_2 3 > 0$. Поэтому:

$$\log_2 |x| \geq 0$$

$$|x| \geq 1$$

Это даёт $x \leq -1$ или $x \geq 1$.

Пересекаем с ограничениями $x 
eq 0$ и $x 
eq 2{,}5$:

$$x \in (-\infty; -1] \cup [1; 2{,}5) \cup (2{,}5; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике