Question

Решите неравенство $3^x + \frac{243}{3^x - 84} \leq 0$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену переменной, приведём к рациональному неравенству, разложим числитель на множители и применим метод интервалов. Обозначим $t = 3^x$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$t + \frac{243}{t - 84} \leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 84) + 243}{t - 84} \leq 0$$ $$\frac{t^2 - 84t + 243}{t - 84} \leq 0$$ Разложим квадратный трёхчлен в числителе. Найдём корни уравнения $t^2 - 84t + 243 = 0$: $$D = 84^2 - 4 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084 = 78^2$$ $$t = \frac{84 \pm 78}{2}$$ Получаем $t_1 = 3$ и $t_2 = 81$. Таким образом: $$\frac{(t - 3)(t - 81)}{t - 84} \leq 0$$ Применим метод интервалов. Критические точки: $t = 3$, $t = 81$, $t = 84$ (точка разрыва). На числовой оси знаки выражения распределяются следующим образом: - при $t < 3$: $(-)(-)/(-) = -$ ✓ - при $3 < t < 81$: $(+)(-)/(-) = +$ ✗ - при $81 < t < 84$: $(+)(+)/(-) = -$ ✓ - при $t > 84$: $(+)(+)/(+) = +$ ✗ Решение неравенства (с учётом граничных точек): $$t \leq 3 ext{ или } 81 \leq t < 84$$ Вернёмся к переменной $x$. Так как $t = 3^x > 0$: Из $3^x \leq 3$ получаем $x \leq 1$. Из $81 \leq 3^x < 84$ получаем $3^4 \leq 3^x < 84$, откуда $4 \leq x < \log_3 84$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике