Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_{5}(25x)}{\log_{5}x-2}+\frac{\log_{5}x-2}{\log_{5}(25x)}\geq\frac{6-\log_{5}x^{4}}{\log_{5}^{2}x-4}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить логарифмические свойства, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов. Раскроем логарифмы произведения и степени: $$\frac{\log_{5}25+\log_{5}x}{\log_{5}x-2}+\frac{\log_{5}x-2}{\log_{5}25+\log_{5}x}\geq\frac{6-4\log_{5}x}{\log_{5}^{2}x-4}$$ Заметим, что $x > 0$ (из области определения логарифма). Так как $\log_{5}25 = 2$, упростим: $$\frac{2+\log_{5}x}{\log_{5}x-2}+\frac{\log_{5}x-2}{2+\log_{5}x}\geq\frac{6-4\log_{5}x}{\log_{5}^{2}x-4}$$ Введём замену $t = \log_{5}x$: $$\frac{2+t}{t-2}+\frac{t-2}{2+t}\geq\frac{6-4t}{t^{2}-4}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(2+t)^{2}+(t-2)^{2}}{(t-2)(t+2)}\geq\frac{6-4t}{t^{2}-4}$$ Заметим, что $t^{2}-4 = (t-2)(t+2)$, поэтому: $$\frac{(2+t)^{2}+(t-2)^{2}-(6-4t)}{(t-2)(t+2)}\geq0$$ Раскроем скобки в числителе: $$(2+t)^{2}+(t-2)^{2}-(6-4t) = 4+4t+t^{2}+t^{2}-4t+4-6+4t = 2t^{2}+4t+2$$ Получаем: $$\frac{2t^{2}+4t+2}{(t-2)(t+2)}\geq0$$ Вынесем общий множитель: $$\frac{2(t^{2}+2t+1)}{(t-2)(t+2)}\geq0$$ $$\frac{2(t+1)^{2}}{(t-2)(t+2)}\geq0$$ Решим методом интервалов. Числитель неотрицателен при всех $t$, обращается в нуль при $t = -1$. Знаменатель обращается в нуль при $t = -2$ и $t = 2$. Из анализа знаков получаем: $t < -2$, $t = -1$, $t > 2$. Вернёмся к переменной $x$: - $\log_{5}x < -2 \Rightarrow x < 5^{-2} = \frac{1}{25}$ - $\log_{5}x = -1 \Rightarrow x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$ - $\log_{5}x > 2 \Rightarrow x > 5^{2} = 25$ С учётом ограничения $x > 0$: $$x \in \left(0; \frac{1}{25}\right) \cup \left\{\frac{1}{5}\right\} \cup (25; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике