Question

а) Решите уравнение: $2\sin(\pi+x)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin x$

б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы приведения, привести уравнение к произведению и разложить на множители.

Используем формулы приведения:

$$\sin(\pi+x)=-\sin x$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$2\cdot(-\sin x)\cdot\cos x=\sin x$$

$$-2\sin x\cos x=\sin x$$

$$-2\sin x\cos x-\sin x=0$$

$$\sin x(-2\cos x-1)=0$$

Получаем два случая:

**Случай 1:** $\sin x=0$

$$x=\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $-2\cos x-1=0$

$$\cos x=-\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на промежутке** $\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]$

Для $x=\pi k$:

$$3\pi\leq\pi k\leq\frac{9\pi}{2}$$

$$3\leq k\leq 4{,}5$$

$$k=3: \quad x=3\pi$$

$$k=4: \quad x=4\pi$$

Для $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$:

$$3\pi\leq\frac{2\pi}{3}+2\pi k\leq\frac{9\pi}{2}$$

$$3\pi-\frac{2\pi}{3}\leq 2\pi k\leq\frac{9\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}$$

$$\frac{7\pi}{3}\leq 2\pi k\leq\frac{23\pi}{6}$$

$$\frac{7}{6}\leq k\leq\frac{23}{12}$$

$$1{,}167\leq k\leq 1{,}917$$

Нет целых значений $k$.

Для $x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k$:

$$3\pi\leq\frac{4\pi}{3}+2\pi k\leq\frac{9\pi}{2}$$

$$3\pi-\frac{4\pi}{3}\leq 2\pi k\leq\frac{9\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}$$

$$\frac{5\pi}{3}\leq 2\pi k\leq\frac{19\pi}{6}$$

$$\frac{5}{6}\leq k\leq\frac{19}{12}$$

$$0{,}833\leq k\leq 1{,}583$$

$$k=1: \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi=\frac{10\pi}{3}$$

Задание №13УравненияЕГЭ по математике