Question

Вычислите значение выражения $6\sqrt{3}\cos^{2}\frac{11\pi}{12}-3\sqrt{3}$.

Accepted Answer

4,5

Answer

Идея решения: применить формулу понижения степени для косинуса в квадрате, затем вычислить косинус требуемого угла.

Используем формулу $\cos^{2}\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$:

$$6\sqrt{3}\cos^{2}\frac{11\pi}{12}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot\frac{1+\cos\frac{11\pi}{6}}{2}-3\sqrt{3}$$

Упростим:

$$=3\sqrt{3}\left(1+\cos\frac{11\pi}{6}\right)-3\sqrt{3}$$

Найдём $\cos\frac{11\pi}{6}$. Заметим, что $\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$, поэтому:

$$\cos\frac{11\pi}{6}=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим:

$$3\sqrt{3}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-3\sqrt{3}$$

$$=3\sqrt{3}+\frac{9}{2}-3\sqrt{3}=\frac{9}{2}=4{,}5$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике