Question

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1, 2, \ldots$). В конце любого года фонд может продать бумаги и положить средства на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете увеличивается в $1 + r$ раз. Фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы к концу двадцатого года сумма на счете была максимальной. Установлено, что оптимальный момент продажи — конец девятого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти условия, при которых продажа в конце девятого года выгоднее, чем в конце восьмого или десятого года. Обозначим через $x$ темп прироста стоимости ценных бумаг (в процентах) с года $t$ на год $t+1$: $$x = \frac{(t+1)^2 - t^2}{t^2} \cdot 100\% = \frac{2t + 1}{t^2} \cdot 100\% = \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}\right) \cdot 100\%$$ На интервале $t \in [1, 20]$ эта функция монотонно убывает. Если фонд продает бумаги в конце года $t$, то к концу года 20 на счете будет сумма $t^2 \cdot (1 + r)^{20-t}$ тыс. рублей. Для того чтобы продажа в конце девятого года была оптимальной, необходимо: - продажа в конце девятого года выгоднее, чем в конце восьмого года; - продажа в конце девятого года выгоднее, чем в конце десятого года. Первое условие: $$9^2 \cdot (1 + r)^{11} > 8^2 \cdot (1 + r)^{12}$$ $$81 \cdot (1 + r)^{11} > 64 \cdot (1 + r)^{12}$$ $$81 > 64(1 + r)$$ $$81 > 64 + 64r$$ $$17 > 64r$$ $$r < \frac{17}{64}$$ Второе условие: $$9^2 \cdot (1 + r)^{11} > 10^2 \cdot (1 + r)^{10}$$ $$81 \cdot (1 + r)^{11} > 100 \cdot (1 + r)^{10}$$ $$81(1 + r) > 100$$ $$81 + 81r > 100$$ $$81r > 19$$ $$r > \frac{19}{81}$$ Объединяя оба условия: $$\frac{19}{81} < r < \frac{17}{64}$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике