Question

Найдите точку максимума функции $y = -\frac{x^2 + 289}{x}$.

Accepted Answer

17

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, какая из них является точкой максимума. Вычислим производную функции: $$y' = -\left(\frac{x^2 + 289}{x} ight)' = -\left(\frac{2x \cdot x - (x^2 + 289)}{x^2} ight) = -\frac{x^2 - 289}{x^2} = \frac{289 - x^2}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$y' = 0 \implies 289 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 289$$ $$x = \pm 17$$ (Знаменатель $x^2 eq 0$, поэтому $x eq 0$.) Проанализируем знак производной на интервалах: - При $x < -17$: $289 - x^2 < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). - При $-17 < x < 0$: $289 - x^2 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). - При $0 < x < 17$: $289 - x^2 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). - При $x > 17$: $289 - x^2 < 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). В точке $x = 17$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, что указывает на локальный максимум.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике