Question

Найдите точку максимума функции $y = (x+3) \cdot e^{3-x}$.

Accepted Answer

-2

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = e^{3-x} - (x+3) \cdot e^{3-x}$$ Вынесем общий множитель: $$y' = e^{3-x}(1 - x - 3) = e^{3-x}(-2-x)$$ Приравняем производную к нулю: $$e^{3-x}(-2-x) = 0$$ Поскольку $e^{3-x} > 0$ при всех $x$, получаем: $$-2 - x = 0$$ $$x = -2$$ Исследуем знак производной методом интервалов. При $x < -2$ имеем $-2 - x > 0$, поэтому $y' > 0$. При $x > -2$ имеем $-2 - x < 0$, поэтому $y' < 0$. Производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, $x = -2$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике