Question

Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение

$$4^{x}+(a-6)2^{x}=(2+3|a|)2^{x}+(a-6)(3|a|+2)$$

имеет единственное решение.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: перенести все слагаемые в левую часть, сделать замену $t = 2^x$ и свести задачу к анализу квадратного уравнения относительно $t$. Перенесём все члены в левую часть: $$4^{x}+(a-6)2^{x}-(2+3|a|)2^{x}-(a-6)(3|a|+2)=0$$ Приведём подобные: $$4^{x}+2^{x}(a-6-2-3|a|)-(a-6)(3|a|+2)=0$$ $$4^{x}-2^{x}(8+3|a|-a)+(6-a)(3|a|+2)=0$$ Обозначим $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда $4^x = t^2$: $$t^{2}-(8+3|a|-a)t+(6-a)(3|a|+2)=0$$ По теореме Виета корни этого квадратного уравнения равны: $$t_{1}=6-a, \quad t_{2}=3|a|+2$$ Проанализируем, при каких значениях $a$ оба корня положительны. Корень $t_1 = 6-a$ положителен при $a < 6$. Корень $t_2 = 3|a|+2$ всегда положителен, так как $3|a| \geq 0$. Исходное уравнение имеет единственное решение в двух случаях: **Случай 1:** один из корней отрицателен или равен нулю. Если $a \geq 6$, то $t_1 = 6-a \leq 0$, и только $t_2 = 3|a|+2 > 0$ даёт решение $x = \log_2(3|a|+2)$. **Случай 2:** оба корня положительны, но совпадают. Приравняем корни: $$6-a = 3|a|+2$$ $$4 = a+3|a|$$ При $a \geq 0$: $4 = a+3a = 4a$, откуда $a = 1$. При $a < 0$: $4 = a-3a = -2a$, откуда $a = -2$. Проверим эти значения: - При $a = 1$: $t_1 = 5$, $t_2 = 5$ (совпадают, $a < 6$ ✓). - При $a = -2$: $t_1 = 8$, $t_2 = 8$ (совпадают, $a < 6$ ✓). Объединяя оба случая, получаем: $a \in (-\infty, -2] \cup \{1\} \cup [6, +\infty)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике