Question

а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскроем синус суммы, применим формулу двойного угла и приведём уравнение к произведению.

**а)** Раскроем $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ по формуле сложения:

$$2\left(\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}\right)+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1$$

$$2\left(\sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1$$

$$\sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1$$

Упростим, сокращая $\sqrt{3}\cos x$ с обеих сторон:

$$\sin x + \cos 2x = 1$$

Подставим $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1$$

$$\sin x - 2\sin^2 x = 0$$

$$\sin x(1 - 2\sin x) = 0$$

Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $\sin x = \frac{1}{2}$.

Из $\sin x = 0$ получаем:

$$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

или

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни из полученных семейств, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$.

Для $x = \pi k$: при $k = -3$ получаем $x = -3\pi$; при $k = -2$ получаем $x = -2\pi$. Оба значения лежат в отрезке.

Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$, что принадлежит отрезку.

Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: при $m = -1$ получаем $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$, что не входит в отрезок $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$ (так как $-\frac{7\pi}{6} > -\frac{3\pi}{2}$).

Задание №13УравненияЕГЭ по математике