Question

Решите неравенство:

$$(\log_{0{,}25}^{2}(x+3) - \log_{4}(x^{2}+6x+9) + 1) \cdot \log_{4}(x+2) \leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать логарифмы к одному основанию, свернуть квадратный трёхчлен в полный квадрат и использовать неотрицательность квадрата множителя.

Найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases}
x+3>0 \
x^{2}+6x+9>0 \
x+2>0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x>-3 \
(x+3)^{2}>0 \
x>-2
\end{cases}
\Rightarrow x \in (-2; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство. Заметим, что $\log_{0{,}25}(x+3) = \log_{4^{-1}}(x+3) = -\log_{4}(x+3)$, поэтому $\log_{0{,}25}^{2}(x+3) = \log_{4}^{2}(x+3)$.

Кроме того, $x^{2}+6x+9 = (x+3)^{2}$, и при $x > -2$ имеем $x+3 > 1 > 0$, так что:

$$\log_{4}((x+3)^{2}) = 2\log_{4}(x+3)$$

Неравенство принимает вид:

$$(\log_{4}^{2}(x+3) - 2\log_{4}(x+3) + 1) \cdot \log_{4}(x+2) \leq 0$$

Выражение в скобках — это полный квадрат:

$$(\log_{4}(x+3) - 1)^{2} \cdot \log_{4}(x+2) \leq 0$$

Поскольку $(\log_{4}(x+3) - 1)^{2} \geq 0$ для всех допустимых $x$, произведение неположительно в двух случаях:

**Случай 1:** $\log_{4}(x+2) \leq 0$

$$\log_{4}(x+2) \leq \log_{4}1$$
$$x+2 \leq 1$$
$$x \leq -1$$

С учётом ОДЗ получаем $x \in (-2; -1]$.

**Случай 2:** $(\log_{4}(x+3) - 1)^{2} = 0$

$$\log_{4}(x+3) = 1$$
$$\log_{4}(x+3) = \log_{4}4$$
$$x+3 = 4$$
$$x = 1$$

Точка $x = 1$ входит в ОДЗ.

Объединяя оба случая:

$$x \in (-2; -1] \cup \{1\}$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике