Question

Найдите точку минимума функции $y = 2x^2 - 23x + 33 \cdot \ln x - 17$.

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = 4x - 23 + \frac{33}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$4x - 23 + \frac{33}{x} = 0$$ Умножим на $x$ (при $x > 0$): $$4x^2 - 23x + 33 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = 529 - 4 \cdot 4 \cdot 33 = 1$$ Корни уравнения: $$x_{1,2} = \frac{23 \pm 1}{8}$$ $$x_1 = 3, \quad x_2 = \frac{11}{4}$$ Исследуем знак производной на интервалах методом интервалов. На числовой оси отметим критические точки $\frac{11}{4} = 2{,}75$ и $3$: - При $x < \frac{11}{4}$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $\frac{11}{4} < x < 3$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > 3$: $y' > 0$ (функция возрастает) Следовательно, $x = 3$ — точка минимума, а $x = \frac{11}{4}$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике