Question

Дана пирамида $SABC$, в которой $SB = SC = AB = AC = \sqrt{17}$, $SA = BC = 2\sqrt{5}$.

а) Докажите, что ребро $SA$ перпендикулярно ребру $BC$.

б) Найдите расстояние между рёбрами $BC$ и $SA$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равенство треугольников для построения плоскости, перпендикулярной одной из прямых, и затем применить критерий перпендикулярности прямой к плоскости.

**а) Доказательство перпендикулярности**

Рассмотрим треугольники $SBC$ и $ABC$. Они совпадают по трём сторонам:
- $SB = AB = \sqrt{17}$;
- $SC = AC = \sqrt{17}$;
- $BC$ — общая сторона.

Оба треугольника равнобедренные с общим основанием $BC$. Проведём медианы из вершин $S$ и $A$ к основанию $BC$; обозначим точку пересечения медиан с $BC$ через $H$. Поскольку треугольники равнобедренные, эти медианы являются также высотами, и обе проходят через одну точку $H$ — середину $BC$.

Таким образом, $SH \perp BC$ и $AH \perp BC$.

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SH$ и $AH$) плоскости $ASH$, следовательно, $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ASH$. Поэтому $BC$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе прямой $SA$.

**б) Нахождение расстояния**

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине общего перпендикуляра к обеим прямым.

Опустим из точки $H$ перпендикуляр $HN$ на прямую $SA$ (где $N$ лежит на $SA$). По построению $HN \perp SA$.

Так как $BC$ перпендикулярна плоскости $ASH$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $HN$. Следовательно, $HN \perp BC$.

Таким образом, $HN$ — общий перпендикуляр к прямым $SA$ и $BC$, и его длина равна искомому расстоянию.

Треугольник $ASH$ равнобедренный (так как $AB = AC$ и $SB = SC$), поэтому $HN$ является также медианой, опущенной из $H$ на сторону $SA$.

Найдём $SH$ из прямоугольного треугольника $SHB$ по теореме Пифагора:

$$SH^2 = SB^2 - HB^2 = 17 - 5 = 12$$

$$SH = 2\sqrt{3}$$

Аналогично, $AH = 2\sqrt{3}$.

Найдём $SA = 2\sqrt{5}$ (дано).

В равнобедренном треугольнике $ASH$ высота $HN$ из вершины $H$ к основанию $SA$ вычисляется из прямоугольного треугольника $SHN$:

$$HN^2 = SH^2 - SN^2$$

где $SN = \frac{SA}{2} = \sqrt{5}$ (так как $HN$ — медиана в равнобедренном треугольнике).

$$HN^2 = 12 - 5 = 7$$

$$HN = \sqrt{7}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике