Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 12x - \ln(12x) + 4$ на отрезке $\left[\frac{1}{24}; \frac{5}{24}\right]$.

Accepted Answer

5

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную, проверить её принадлежность отрезку и вычислить значение функции в этой точке. Вычислим производную: $$y' = 12 - \frac{1}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12 - \frac{1}{x} = 0$$ $$x = \frac{1}{12} = \frac{2}{24}$$ Критическая точка $x = \frac{1}{12}$ принадлежит отрезку $\left[\frac{1}{24}; \frac{5}{24}\right]$. Проанализируем знак производной: при $x < \frac{1}{12}$ имеем $y' < 0$ (функция убывает), при $x > \frac{1}{12}$ имеем $y' > 0$ (функция возрастает). Следовательно, $x = \frac{1}{12}$ — точка минимума на данном отрезке. Вычислим значение функции в точке минимума: $$y\left(\frac{1}{12}\right) = 12 \cdot \frac{1}{12} - \ln\left(12 \cdot \frac{1}{12}\right) + 4 = 1 - \ln(1) + 4 = 1 - 0 + 4 = 5$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике