Question

Найдите значение выражения $\frac{{\log}_{9}28}{{\log}_{9}7}+{\log}_{7}\frac{7}{4}$.

Accepted Answer

2

Answer

Идея решения: применить формулу перехода к новому основанию логарифма и свойства логарифма частного, затем свести выражение к логарифму степени.

Используем два ключевых свойства:
- ${\log}_{a}\frac{b}{c}={\log}_{a}b-{\log}_{a}c$
- $\frac{{\log}_{k}b}{{\log}_{k}a}={\log}_{a}b$

Преобразуем первое слагаемое по формуле перехода к основанию 7:

$$\frac{{\log}_{9}28}{{\log}_{9}7}={\log}_{7}28$$

Раскроем логарифм частного во втором слагаемом:

$${\log}_{7}\frac{7}{4}={\log}_{7}7-{\log}_{7}4$$

Сложим оба слагаемых:

$${\log}_{7}28+{\log}_{7}7-{\log}_{7}4$$

Применим свойство логарифма суммы и разности:

$${\log}_{7}\left(\frac{28 \cdot 7}{4}\right)={\log}_{7}49$$

Заметим, что $49=7^{2}$:

$${\log}_{7}7^{2}=2$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике