Question

Плоскость, параллельная основанию прямого кругового конуса, проходит через точку на его высоте, которая делит высоту в отношении 1:2, считая от вершины. Эта плоскость разделяет конус на две части. Найдите объём части конуса, примыкающей к его основанию, если объём всего конуса равен 54.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/yYT7OqdNu91oHl3cpuLEINZ1h9XsGhGcAbiTeo4Y.jpg)

Accepted Answer

52

Answer

Идея решения: найти объём отсечённого конуса, используя подобие треугольников в осевом сечении, а затем вычесть его из объёма исходного конуса.

Обозначим объём исходного конуса:

$$V_{	ext{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = 54$$

Точка на высоте делит её в отношении 1:2 от вершины, значит высота разбита на три равные части. Высота отсечённого конуса составляет $\frac{1}{3}h$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Треугольники, образованные осевыми сечениями исходного и отсечённого конусов, подобны по двум углам (прямому углу и общему углу при вершине). Коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$ (отношение высот).

Следовательно, радиус отсечённого конуса также составляет $\frac{1}{3}r$.

Вычислим объём отсечённого конуса:

$$V_{	ext{отс}} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{3}right)^2 \cdot \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{9}r^2 \cdot \frac{1}{3}h = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{27} \cdot V_{	ext{кон}} = \frac{1}{27} \cdot 54 = 2$$

Объём части конуса, примыкающей к основанию:

$$V_{	ext{осн}} = V_{	ext{кон}} - V_{	ext{отс}} = 54 - 2 = 52$$

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике