Question

а) Решите уравнение $2\sin\left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-3\cos x=\sin 2x-\sqrt{3}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;-\frac{5\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскроем синус суммы, приведём уравнение к произведению и найдём все решения через стандартные формулы.

**а)** Раскроем $\sin\left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)$ по формуле синуса суммы:

$$\sin\left( 2x+\frac{\pi}{3} \right) = \sin 2x \cos\frac{\pi}{3} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$2\left(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)-3\cos x=\sin 2x-\sqrt{3}$$

$$\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x - 3\cos x = \sin 2x - \sqrt{3}$$

Сокращаем $\sin 2x$:

$$\sqrt{3}\cos 2x - 3\cos x = -\sqrt{3}$$

Используем $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$\sqrt{3}(2\cos^2 x - 1) - 3\cos x = -\sqrt{3}$$

$$2\sqrt{3}\cos^2 x - \sqrt{3} - 3\cos x = -\sqrt{3}$$

$$2\sqrt{3}\cos^2 x - 3\cos x = 0$$

$$\cos x(2\sqrt{3}\cos x - 3) = 0$$

Отсюда либо $\cos x = 0$, либо $\cos x = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из $\cos x = 0$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни из отрезка $\left[ -4\pi;-\frac{5\pi}{2} \right]$ с помощью числовой окружности.

Для семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: при $k = -3$ получаем $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$; при $k = -4$ получаем $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$.

Для семейства $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n = -2$ получаем $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$.

Для семейства $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m$: нет корней в данном отрезке.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике