Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} (x−3)(y+3x−9)=|x−3|^{3} \ y=x+a \end{array} ight.$$

имеет ровно четыре различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: подставить второе уравнение в первое, раскрыть модуль по знаку выражения $x−3$, получить две системы и найти значения параметра, при которых общее число решений равно четырём. Подставим $y = x + a$ в первое уравнение: $$(x−3)(4x+a−9)=|x−3|^{3}$$ Раскроем модуль в зависимости от знака $x−3$: $$\left[ \begin{array}{c} (x−3)(4x+a−9−(x−3)^{2})=0, \quad x \geq 3 \ (x−3)(4x+a−9+(x−3)^{2})=0, \quad x < 3 \end{array} ight.$$ Упростим каждую систему: $$\left[ \begin{array}{c} (x−3)(x^{2}−10x+18−a)=0, \quad x \geq 3 \quad (1) \ (x−3)(x^{2}−2x+a)=0, \quad x < 3 \quad (2) \end{array} ight.$$ Исходная система имеет четыре решения в одном из следующих случаев: - **Случай 1:** система (1) даёт три решения, система (2) даёт одно; - **Случай 2:** система (1) даёт два решения, система (2) даёт два. **Случай 1.** Система (1) имеет три решения, если квадратное уравнение $x^{2}−10x+18−a=0$ имеет два корня, оба больше 3. Обозначим $f(x)=x^{2}−10x+18−a$. Условия: $$\left\{ \begin{array}{c} D=4(7+a)>0 \ x_{ ext{в}}=5>3 \ f(3)=9−30+18−a=−3−a>0 \end{array} ight.$$ Получаем $a \in (−7; −3)$. Система (2) имеет одно решение в двух подслучаях. **Подслучай а):** уравнение $x^{2}−2x+a=0$ имеет один корень, и он меньше 3: $$\left\{ \begin{array}{c} D=4(1−a)=0 \ x_{ ext{в}}=1<3 \end{array} ight.$$ Отсюда $a=1$. **Подслучай б):** уравнение $x^{2}−2x+a=0$ имеет два корня, расположенные по разные стороны от 3, либо один корень равен 3, а другой левее 3. Обозначим $g(x)=x^{2}−2x+a$. Условия: $$\left\{ \begin{array}{c} D=4(1−a)>0 \ g(3) \leq 0 \end{array} ight.$$ Имеем $g(3)=9−6+a=3+a \leq 0$, откуда $a \leq −3$. Пересечение $(−7; −3)$ с $\{1\} \cup (−\infty; −3]$ даёт $a \in (−7; −3)$. **Случай 2.** Система (1) имеет два решения, если уравнение $x^{2}−10x+18−a=0$ имеет один корень больше 3, либо два корня, где меньший не превосходит 3. Поскольку при двух корнях больший всегда больше вершины $x_{ ext{в}}=5>3$, он автоматически входит в решение. Условия: $$D=4(7+a) \leq 0 \quad ext{или} \quad (D>0 ext{ и } f(3) \leq 0)$$ Это даёт $a \in \{−7\} \cup [−3; +\infty)$. Система (2) имеет два решения, если уравнение $x^{2}−2x+a=0$ имеет два корня, оба меньше 3: $$\left\{ \begin{array}{c} D=4(1−a)>0 \ x_{ ext{в}}=1<3 \ g(3)=3+a>0 \end{array} ight.$$ Получаем $a \in (−3; 1)$. Пересечение $\{−7\} \cup [−3; +\infty)$ с $(−3; 1)$ даёт $a \in (−3; 1)$. Объединяя результаты обоих случаев: $$a \in (−7; −3) \cup (−3; 1)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике