Question

Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{x^{2}+441}{x}$ на отрезке $[2; 32]$.

Accepted Answer

42

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить их принадлежность отрезку и вычислить значения функции в критических точках и на концах.

Найдём производную функции:

$$y'=\frac{2x \cdot x - (x^{2}+441) \cdot 1}{x^{2}}=\frac{2x^{2}-x^{2}-441}{x^{2}}=\frac{x^{2}-441}{x^{2}}$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{x^{2}-441}{x^{2}}=0$$

$$x^{2}-441=0$$

$$x^{2}=441$$

$$x=\pm 21$$

Из двух корней только $x=21$ принадлежит отрезку $[2; 32]$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$$y(2)=\frac{4+441}{2}=\frac{445}{2}=222{,}5$$

$$y(21)=\frac{441+441}{21}=\frac{882}{21}=42$$

$$y(32)=\frac{1024+441}{32}=\frac{1465}{32}=45{,}78125$$

Наименьшее значение равно 42.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике