Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение 
$$\sqrt{5x-3}\cdot\ln\left(x^{2}-6x+10-a^{2}\right)=0$$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель обращается в нуль; нужно найти, при каких значениях параметра ровно один из корней попадает в заданный отрезок.

Произведение обращается в нуль, если:

$$\sqrt{5x-3}=0 \quad 	ext{или} \quad \ln\left(x^{2}-6x+10-a^{2}ight)=0$$

Из первого условия получаем $x=\frac{3}{5}$. Из второго: $x^{2}-6x+10-a^{2}=1$, откуда $x^{2}-6x+9=a^{2}$, то есть $(x-3)^{2}=a^{2}$.

Учитывая ограничения $5x-3 \geq 0$ (то есть $x \geq \frac{3}{5}$) и $x^{2}-6x+10-a^{2} > 0$ (то есть $-(x-3)^{2}+1 < a < (x-3)^{2}+1$), получаем систему:

$$x = \frac{3}{5} \quad 	ext{или} \quad a = \pm(x-3)$$

$$x \geq \frac{3}{5}$$

$$-(x-3)^{2}+1 < a < (x-3)^{2}+1$$

Графический анализ показывает, что ровно один корень на $[0;3]$ достигается при:

$$D < a \leq C \quad 	ext{или} \quad B \leq a < A$$

где точки $A$, $B$, $C$, $D$ находятся подстановкой $x=\frac{3}{5}$ в соответствующие кривые.

Для $a=\sqrt{(x-3)^{2}+1}$ при $x=\frac{3}{5}$:

$$A = \sqrt{\left(\frac{3}{5}-3ight)^{2}+1} = \sqrt{\frac{144}{25}+1} = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}$$

Для $a=-\sqrt{(x-3)^{2}+1}$ при $x=\frac{3}{5}$:

$$D = -\sqrt{\left(\frac{3}{5}-3ight)^{2}+1} = -\frac{13}{5}$$

Для $a=x-3$ при $x=\frac{3}{5}$:

$$B = \frac{3}{5}-3 = -\frac{12}{5}$$

Для $a=-x+3$ при $x=\frac{3}{5}$:

$$C = -\frac{3}{5}+3 = \frac{12}{5}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике