Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить два уравнения для остатка долга после всех платежей в каждом сценарии, выразить сумму кредита из второго уравнения и подставить в первое.

Обозначим:
- $S$ — сумма кредита;
- $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга;
- $x = 58564$ рубля — годовой платёж в первом сценарии;
- $y = 106964$ рубля — годовой платёж во втором сценарии.

**Первый сценарий (4 года, платёж $x$):**

Проследим изменение долга по годам:

| Год | До увеличения | После увеличения | Платёж | Остаток |
|-----|---|---|---|---|
| 1 | $S$ | $Sk$ | $x$ | $Sk - x$ |
| 2 | $Sk - x$ | $(Sk - x)k$ | $x$ | $(Sk - x)k - x$ |
| 3 | $(Sk - x)k - x$ | $((Sk - x)k - x)k$ | $x$ | $((Sk - x)k - x)k - x$ |
| 4 | $((Sk - x)k - x)k - x$ | $(((Sk - x)k - x)k - x)k$ | $x$ | $(((Sk - x)k - x)k - x)k - x = 0$ |

Из условия полного погашения:

$$Sk^4 - xk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

**Второй сценарий (2 года, платёж $y$):**

| Год | До увеличения | После увеличения | Платёж | Остаток |
|-----|---|---|---|---|
| 1 | $S$ | $Sk$ | $y$ | $Sk - y$ |
| 2 | $Sk - y$ | $(Sk - y)k$ | $y$ | $(Sk - y)k - y = 0$ |

Из условия полного погашения:

$$(Sk - y)k - y = 0$$

$$Sk^2 - yk - y = 0$$

$$Sk^2 = y(k + 1)$$

$$S = \frac{y(k + 1)}{k^2}$$

**Подстановка в первое уравнение:**

$$\frac{y(k + 1)}{k^2} \cdot k^4 - xk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

$$y(k + 1)k^2 - xk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

$$yk^3 + yk^2 - xk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

Сгруппируем:

$$k^2(yk + y - xk - x) - x(k + 1) = 0$$

$$k^2(k(y - x) + (y - x)) - x(k + 1) = 0$$

$$(k + 1)(k^2(y - x) - x) = 0$$

Так как $k > 0$, имеем $k + 1 
eq 0$, поэтому:

$$k^2(y - x) - x = 0$$

$$k^2 = \frac{x}{y - x}$$

Подставим числовые значения:

$$k^2 = \frac{58564}{106964 - 58564} = \frac{58564}{48400} = 1{,}21$$

$$k = 1{,}1$$

(берём положительный корень, так как $k > 0$)

Из соотношения $k = 1 + \frac{r}{100}$:

$$1{,}1 = 1 + \frac{r}{100}$$

$$\frac{r}{100} = 0{,}1$$

$$r = 10$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике