Question

Мотоциклист выезжает из города, двигаясь со скоростью $v_0 = 60$ км/ч, и сразу начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 32$ км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города определяется формулой:

$$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$$

где $t$ — время в часах. Оператор сотовой связи обеспечивает покрытие на расстоянии не более 154 км от города. Найдите максимальное время, в течение которого мотоциклист остаётся в зоне покрытия. Ответ дайте в минутах.

Accepted Answer

105

Answer

Идея решения: составить неравенство для расстояния, решить квадратное неравенство и найти верхнюю границу времени.

Подставим известные значения в формулу расстояния:

$$154 \geq 60t + \frac{32t^2}{2}$$

Упростим:

$$154 \geq 60t + 16t^2$$

Перенесём все в одну сторону:

$$16t^2 + 60t - 154 \leq 0$$

Разделим на 2:

$$8t^2 + 30t - 77 \leq 0$$

Найдём корни квадратного уравнения $8t^2 + 30t - 77 = 0$:

$$D = 30^2 + 4 \cdot 8 \cdot 77 = 900 + 2464 = 3364$$

$$\sqrt{D} = 58$$

$$t = \frac{-30 \pm 58}{16}$$

$$t_1 = \frac{-30 - 58}{16} = \frac{-88}{16} = -\frac{11}{2}$$

$$t_2 = \frac{-30 + 58}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1{,}75$$

Так как время не может быть отрицательным, решение неравенства — это $0 \leq t \leq 1{,}75$ часа.

Максимальное время в зоне покрытия составляет 1,75 часа. Переведём в минуты:

$$1{,}75 	imes 60 = 105$$ минут

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике