Question

Вадим владеет двумя заводами в разных городах. На каждом заводе производятся идентичные товары с использованием одной и той же технологии. Если рабочие одного завода работают суммарно $t^2$ часов в неделю, они выпускают $t$ единиц товара. Оплата труда составляет 200 рублей в час на первом заводе и 300 рублей в час на втором заводе. Вадим выделяет 1 200 000 рублей в неделю на зарплату. Найти максимальный объём производства за неделю на обоих заводах вместе.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: обозначить производство на каждом заводе, выразить общий выпуск через переменные, подставить в бюджетное ограничение и найти максимум через условие неотрицательности дискриминанта.

Обозначим через $x$ и $y$ количество единиц товара, производимых на первом и втором заводе соответственно. Тогда рабочие первого завода трудятся $x^2$ часов, а второго — $y^2$ часов в неделю.

Общий объём производства:
$$S = x + y$$

Бюджетное ограничение на оплату труда:
$$200x^2 + 300y^2 = 1200000$$

Из первого соотношения выразим $y$:
$$y = S - x$$

Подставим в бюджетное ограничение:
$$200x^2 + 300(S - x)^2 = 1200000$$

Разделим на 100:
$$2x^2 + 3(S - x)^2 = 12000$$

Раскроем скобки:
$$2x^2 + 3(S^2 - 2Sx + x^2) = 12000$$

$$2x^2 + 3S^2 - 6Sx + 3x^2 = 12000$$

$$5x^2 - 6Sx + 3S^2 - 12000 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x$ имеет решения при условии неотрицательности дискриминанта:
$$D = (6S)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (3S^2 - 12000) \geq 0$$

$$36S^2 - 60S^2 + 240000 \geq 0$$

$$-24S^2 + 240000 \geq 0$$

$$S^2 \leq 10000$$

Граничные значения: $S = -100$ и $S = 100$. Поскольку $S$ — объём производства, $S \geq 0$, получаем $0 \leq S \leq 100$.

Максимальное значение $S = 100$.

Найдём $x$ при $S = 100$:
$$5x^2 - 600x + 3 \cdot 10000 - 12000 = 0$$

$$5x^2 - 600x + 18000 = 0$$

$$x^2 - 120x + 3600 = 0$$

$$(x - 60)^2 = 0$$

$$x = 60$$

Тогда $y = 100 - 60 = 40$.

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике