Question

Решите неравенство:

$$\log_2^2(x^2 - 9) - 9\log_2(x^2 - 9) + 20 \geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной для сведения логарифмического неравенства к квадратному, затем найти пересечение решений с областью определения.

**Область определения:**

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2 - 9 > 0$$

$$(x - 3)(x + 3) > 0$$

$$x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$

**Замена переменной:**

Обозначим $t = \log_2(x^2 - 9)$. Тогда неравенство принимает вид:

$$t^2 - 9t + 20 \geq 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$t_1 = 4, \quad t_2 = 5$$

Решение квадратного неравенства:

$$t \leq 4 \quad 	ext{или} \quad t \geq 5$$

**Обратная замена:**

Рассмотрим первый случай:

$$\log_2(x^2 - 9) \leq 4$$

$$x^2 - 9 \leq 2^4$$

$$x^2 - 9 \leq 16$$

$$x^2 \leq 25$$

$$x \in [-5; 5]$$

Рассмотрим второй случай:

$$\log_2(x^2 - 9) \geq 5$$

$$x^2 - 9 \geq 2^5$$

$$x^2 - 9 \geq 32$$

$$x^2 \geq 41$$

$$x \in (-\infty; -\sqrt{41}] \cup [\sqrt{41}; +\infty)$$

**Пересечение с областью определения:**

Для первого случая: $[-5; 5] \cap ((-\infty; -3) \cup (3; +\infty)) = [-5; -3) \cup (3; 5]$.

Для второго случая: $((-\infty; -\sqrt{41}] \cup [\sqrt{41}; +\infty)) \cap ((-\infty; -3) \cup (3; +\infty)) = (-\infty; -\sqrt{41}] \cup [\sqrt{41}; +\infty)$.

Объединяя оба случая:

$$x \in (-\infty; -\sqrt{41}] \cup [-5; -3) \cup (3; 5] \cup [\sqrt{41}; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике