Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\left( \left| x-6 \right|-\left| x-a \right| \right)^{2}-3a\left( \left| x-6 \right|-\left| x-a \right| \right)+2a^{2}+a-1=0$$
имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену для разности модулей, решим квадратное уравнение относительно новой переменной, затем проанализируем, при каких значениях параметра исходное уравнение имеет ровно два решения.

Обозначим $t=\left| x-6 ight|-\left| x-a ight|$. Уравнение принимает вид:
$$t^{2}-3at+2a^{2}+a-1=0$$

Найдём дискриминант:
$$D=9a^{2}-4\left( 2a^{2}+a-1 ight)=9a^{2}-8a^{2}-4a+4=a^{2}-4a+4=\left( a-2 ight)^{2}$$

Корни квадратного уравнения:
$$t=\frac{3a\pm\left( a-2 ight)}{2}$$

Получаем:
$$t_{1}=a+1, \quad t_{2}=2a-1$$

Вернёмся к исходной переменной. Нужно решить два уравнения:
$$\left| x-6 ight|-\left| x-a ight|=a+1 \quad 	ext{или} \quad \left| x-6 ight|-\left| x-a ight|=2a-1$$

Нули подмодульных выражений: $x=6$ и $x=a$.

**Случай 1:** $x \geq 6$ и $x \geq a$.

Тогда $\left| x-6 ight|=x-6$ и $\left| x-a ight|=x-a$:
$$x-6-x+a=a+1 \quad \Rightarrow \quad a=-5 	ext{ (нет решения)}$$
$$x-6-x+a=2a-1 \quad \Rightarrow \quad a=-5$$

При $a=-5$ условие $x \geq 6$ и $x \geq a=-5$ даёт $x \geq 6$, что совместимо.

**Случай 2:** $x \leq 6$ и $x \leq a$.

Тогда $\left| x-6 ight|=-x+6$ и $\left| x-a ight|=-x+a$:
$$-x+6+x-a=a+1 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{5}{2}$$
$$-x+6+x-a=2a-1 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{7}{3}$$

**Случай 3:** $x \leq 6$ и $x \geq a$.

Тогда $\left| x-6 ight|=-x+6$ и $\left| x-a ight|=x-a$:
$$-x+6-x+a=a+1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{5}{2}$$
$$-x+6-x+a=2a-1 \quad \Rightarrow \quad a=-2x+7$$

**Случай 4:** $x \geq 6$ и $x \leq a$.

Тогда $\left| x-6 ight|=x-6$ и $\left| x-a ight|=-x+a$:
$$x-6+x-a=a+1 \quad \Rightarrow \quad a=x-\frac{7}{2}$$
$$x-6+x-a=2a-1 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{2x-5}{3}$$

Найдём точку пересечения прямых $x=\frac{5}{2}$ и $a=-2x+7$:
$$a=-2 \cdot \frac{5}{2}+7=2$$

Точка пересечения: $A\left(\frac{5}{2}; 2ight)$.

Анализируя график зависимости числа решений от параметра $a$, исходное уравнение имеет ровно два решения при:
$$-5 < a < 2 \quad 	ext{или} \quad a = \frac{7}{3}$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике