Question

а) Решите уравнение $2-2\cos^{2}x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}-2\sin\left( x-\pi \right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi;-\frac{\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать исходное уравнение, используя основное тригонометрическое тождество и свойства синуса, затем разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$2-2\cos^{2}x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}+2\sin\left( x-\pi ight)=0$$

Применим формулу $\cos^{2}x = 1-\sin^{2}x$ и свойство $\sin(x-\pi) = -\sin x$:

$$2-2\left( 1-\sin^{2}x ight)+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}-2\sin x=0$$

Раскроем скобки:

$$2-2+2\sin^{2}x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}-2\sin x=0$$

Упростим:

$$2\sin^{2}x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}-2\sin x=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\sin^{2}x-2\sin x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}=0$$

$$2\sin x(\sin x-1)+\sqrt{2}(\sin x-1)=0$$

Вынесем общий множитель:

$$(\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{2})=0$$

Получаем два случая:

$$\sin x=1 \quad 	ext{или} \quad \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Из первого условия:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из второго условия:

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ -2\pi;-\frac{\pi}{2} ight]$**

Используя тригонометрическую окружность, определим, какие корни попадают в заданный промежуток.

Для $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $x=-\frac{3\pi}{2}$, что принадлежит отрезку.

Для $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=-\frac{\pi}{4}$, что не входит в отрезок; при $k=-1$ получаем $x=-\frac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{9\pi}{4}$, что также не входит.

Для $x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=-\frac{3\pi}{4}$, что принадлежит отрезку.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике