Question

Решите неравенство:

$$\frac{2^x}{2^x-8}+\frac{2^x+8}{2^x-4}+\frac{66}{4^x-12\cdot 2^x+32}\leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 2^x$, приведём дроби к общему знаменателю, упростим числитель и применим метод интервалов.

Обозначим $t = 2^x$, где $t > 0$. Заметим, что $4^x = t^2$, поэтому знаменатель третьей дроби:

$$t^2 - 12t + 32 = (t-4)(t-8)$$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{t}{t-8}+\frac{t+8}{t-4}+\frac{66}{(t-4)(t-8)}\leq 0$$

Приведём к общему знаменателю $(t-4)(t-8)$:

$$\frac{t(t-4) + (t+8)(t-8) + 66}{(t-4)(t-8)}\leq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$t(t-4) = t^2 - 4t$$

$$(t+8)(t-8) = t^2 - 64$$

Сумма:

$$t^2 - 4t + t^2 - 64 + 66 = 2t^2 - 4t + 2$$

Вынесем множитель:

$$2t^2 - 4t + 2 = 2(t^2 - 2t + 1) = 2(t-1)^2$$

Неравенство становится:

$$\frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t-8)}\leq 0$$

Или эквивалентно:

$$\frac{(t-1)^2}{(t-4)(t-8)}\leq 0$$

Числитель $(t-1)^2 \geq 0$ при всех $t$. Дробь неположительна, когда знаменатель отрицателен или числитель равен нулю.

Числитель обращается в нуль при $t = 1$.

Знаменатель отрицателен при $4 < t < 8$ (см. диаграмму знаков).

Таким образом, решение по переменной $t$:

$$t = 1 	ext{ или } 4 < t < 8$$

Вернёмся к переменной $x$. Из условия $t = 2^x$:

При $t = 1$: $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$.

При $4 < t < 8$: $4 < 2^x < 8 \Rightarrow 2^2 < 2^x < 2^3 \Rightarrow 2 < x < 3$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике