Question

Дана трапеция $ABCD$ с диагоналями, длины которых равны 5 и 12. Сумма оснований составляет 13.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: продлим одно основание и проведём через вершину верхнего основания прямую, параллельную второй диагонали, чтобы получить треугольник, в котором применима теорема Пифагора.

**а) Доказательство перпендикулярности диагоналей**

Проведём через точку $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $C_1$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (трапеция) и $BD \parallel CC_1$ (по построению), четырёхугольник $BCC_1D$ является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма:
$$BC = DC_1, \quad BD = CC_1 = 5$$

Рассмотрим треугольник $ACC_1$. Его стороны:
$$AC = 12, \quad CC_1 = 5, \quad AC_1 = AD + DC_1 = AD + BC = 13$$

Проверим соотношение:
$$AC^2 + CC_1^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = AC_1^2$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACC_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$:
$$\angle ACC_1 = 90°$$

Поскольку $\angle ACC_1$ — это угол между диагоналями трапеции (угол $\angle COD$), получаем:
$$\angle COD = 90°$$

Диагонали перпендикулярны. ✓

**б) Вычисление площади**

Для трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь вычисляется по формуле:
$$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике