Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_3(9x) \cdot \log_4(64x)}{5x^2 - |x|} \leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить логарифмы произведений, найти область определения, затем решить совокупность двух систем в зависимости от знака знаменателя. **Область определения:** Требуется $9x > 0$, $64x > 0$ и $5x^2 - |x| eq 0$, откуда $x > 0$ и $x(5|x| - 1) eq 0$. При $x > 0$ имеем $|x| = x$, поэтому $x(5x - 1) eq 0$, то есть $x eq 0$ и $x eq \frac{1}{5}$. Таким образом, область определения: $x \in \left(0; \frac{1}{5} ight) \cup \left(\frac{1}{5}; +\infty ight)$. **Упрощение числителя:** Применим свойства логарифмов: $$\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x$$ $$\log_4(64x) = \log_4 64 + \log_4 x = 3 + \log_4 x$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{(2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x)}{5x^2 - |x|} \leq 0$$ **Анализ знаменателя при $x > 0$:** При $x > 0$ имеем $5x^2 - |x| = 5x^2 - x = x(5x - 1)$. - Если $5x^2 - x > 0$, то $x(5x - 1) > 0$, откуда $x \in \left(\frac{1}{5}; +\infty ight)$. - Если $5x^2 - x < 0$, то $x(5x - 1) < 0$, откуда $x \in \left(0; \frac{1}{5} ight)$. **Случай 1: числитель $\leq 0$, знаменатель $> 0$** $$(2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x) \leq 0, \quad x \in \left(\frac{1}{5}; +\infty ight)$$ Произведение неположительно, если множители имеют противоположные знаки: $$\left[\begin{array}{l} \begin{cases} 2 + \log_3 x \leq 0 \ 3 + \log_4 x \geq 0 \end{cases} \ \begin{cases} 2 + \log_3 x \geq 0 \ 3 + \log_4 x \leq 0 \end{cases} \end{array} ight.$$ Первая система: $x \leq \frac{1}{9}$ и $x \geq \frac{1}{64}$, то есть $x \in \left[\frac{1}{64}; \frac{1}{9} ight]$. Вторая система: $x \geq \frac{1}{9}$ и $x \leq \frac{1}{64}$ — пусто. Пересечение с $\left(\frac{1}{5}; +\infty ight)$: пусто (так как $\frac{1}{9} < \frac{1}{5}$). **Случай 2: числитель $\geq 0$, знаменатель $< 0$** $$(2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x) \geq 0, \quad x \in \left(0; \frac{1}{5} ight)$$ Произведение неотрицательно, если оба множителя имеют одинаковый знак: $$\left[\begin{array}{l} \begin{cases} 2 + \log_3 x \geq 0 \ 3 + \log_4 x \geq 0 \end{cases} \ \begin{cases} 2 + \log_3 x \leq 0 \ 3 + \log_4 x \leq 0 \end{cases} \end{array} ight.$$ Первая система: $x \geq \frac{1}{9}$ и $x \geq \frac{1}{64}$, то есть $x \in \left[\frac{1}{9}; +\infty ight)$. Вторая система: $x \leq \frac{1}{9}$ и $x \leq \frac{1}{64}$, то есть $x \in \left(0; \frac{1}{64} ight]$. Объединение: $x \in \left(0; \frac{1}{64} ight] \cup \left[\frac{1}{9}; +\infty ight)$. Пересечение с $\left(0; \frac{1}{5} ight)$: $x \in \left(0; \frac{1}{64} ight] \cup \left[\frac{1}{9}; \frac{1}{5} ight)$. **Объединение обоих случаев:** $$x \in \left(0; \frac{1}{64} ight] \cup \left[\frac{1}{9}; \frac{1}{5} ight)$$ ![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/u3T0GdSbKOR9AZUO45GXFFP6b5vicSCmsLYwI8i6.jpg) ![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/S7v3RK8mdsnkmxi7UDTUJrW7lVI1JW2mslArlcFY.jpg) ![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/YfzR0hWnDCJzXZcknTNmt0wxkBCJNjOSKMkGLk1c.jpg)

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике