Question

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: $4^{12} + 2^{32} - 16$?

Accepted Answer

21

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в двоичную систему, используя свойства степеней двойки, и подсчитать количество единиц.

Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому $4^{12} = 2^{24}$.

Выражение принимает вид:
$$2^{24} + 2^{32} - 16 = 2^{24} + 2^{32} - 2^4$$

В двоичной системе:
- $2^{32}$ — это единица на позиции 32 (и 32 нуля справа): $1\underbrace{00\ldots0}_{32}$
- $2^{24}$ — это единица на позиции 24: $1\underbrace{00\ldots0}_{24}$
- $2^4$ — это единица на позиции 4: $10000_2$

Вычислим $2^{32} + 2^{24}$:
$$2^{32} + 2^{24} = 1\underbrace{00\ldots0}_{8}1\underbrace{00\ldots0}_{24}$$

Это число содержит две единицы (на позициях 32 и 24).

Теперь вычтем $2^4 = 16$:
$$1\underbrace{00\ldots0}_{8}1\underbrace{00\ldots0}_{24} - 10000$$

При вычитании $2^4$ из этого числа происходит заём из позиции 24. Позиции с 4 по 23 (всего 20 позиций) заполняются единицами, позиция 24 становится нулём, а позиция 32 остаётся единицей.

Результат в двоичной записи:
$$1\underbrace{00\ldots0}_{7}0\underbrace{11\ldots1}_{20}$$

Количество единиц: $1 + 20 = 21$.

```python
a = 4**12 + 2**32 - 16
s = bin(a)[2:]
print(s.count('1'))
```

**Альтернативное решение на Python:**

```python
x = 4**12 + 2**32 - 16
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 2)
    x //= 2
s = s[::-1]
print(s.count('1'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f5/f56691a6f7a29cfcd6bc09a4230cf381.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/54/54eaf09453d6869842c629e6154ac7e5.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике