Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [3, 38]$ и $Q = [21, 57]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$
eg(x \in A) 	o ((x \in P) 	o 
eg(x \in Q))$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[6, 20]$
2) $[22, 35]$
3) $[40, 60]$
4) $[20, 40]$

Accepted Answer

4

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение в эквивалентную форму, найти условие на множество $A$, а затем проверить, какой из предложенных отрезков его удовлетворяет.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Исходное выражение:
$$
eg A 	o (P 	o 
eg Q)$$

Преобразуем импликацию $P 	o 
eg Q$ в дизъюнкцию:
$$P 	o 
eg Q = 
eg P \lor 
eg Q$$

Тогда всё выражение становится:
$$
eg A 	o (
eg P \lor 
eg Q) = A \lor 
eg P \lor 
eg Q$$

Для того чтобы это выражение было тождественно истинно при всех $x$, дизъюнкция $A \lor 
eg P \lor 
eg Q$ должна быть истинна везде.

Найдём, где $
eg P \lor 
eg Q = 0$. Это происходит только когда $P = 1$ и $Q = 1$ одновременно, то есть на пересечении отрезков:
$$P \cap Q = [21, 38]$$

На этом отрезке $
eg P \lor 
eg Q = 0$, поэтому для истинности всего выражения необходимо, чтобы $A = 1$ на $[21, 38]$.

Это означает, что множество $A$ должно содержать отрезок $[21, 38]$.

Проверим предложенные варианты:
- $[6, 20]$ — не содержит $[21, 38]$ ✗
- $[22, 35]$ — не содержит весь $[21, 38]$ ✗
- $[40, 60]$ — не содержит $[21, 38]$ ✗
- $[20, 40]$ — содержит $[21, 38]$ ✓

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике