Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [3, 38]$ и $Q = [21, 57]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$((x \in Q) 	o (x \in P)) 	o 
eg(x \in A)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[6, 20]$
2) $[22, 35]$
3) $[42, 55]$
4) $[20, 40]$

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение, найти множество точек, где оно может быть ложным, и выбрать отрезок $A$, который исключает эти точки.

Обозначим: $A \equiv (x \in A)$, $P \equiv (x \in P)$, $Q \equiv (x \in Q)$.

Исходное выражение:
$$((Q 	o P) 	o 
eg A)$$

Преобразуем, используя эквивалентность $X 	o Y \equiv 
eg X \lor Y$:

$$Q 	o P \equiv 
eg Q \lor P$$

Тогда:
$$(
eg Q \lor P) 	o 
eg A \equiv 
eg(
eg Q \lor P) \lor 
eg A \equiv (Q \land 
eg P) \lor 
eg A$$

Для того чтобы выражение $(Q \land 
eg P) \lor 
eg A$ было тождественно истинным при всех $x$, оно должно быть истинным везде. Это возможно только если:
- либо $(Q \land 
eg P) = 1$ (тогда дизъюнкция истинна независимо от $
eg A$),
- либо $
eg A = 1$ (тогда дизъюнкция истинна независимо от первого слагаемого).

Найдём множество, где $Q \land 
eg P = 1$:
- $Q = 1$ при $x \in [21, 57]$
- $P = 1$ при $x \in [3, 38]$, поэтому $
eg P = 1$ при $x 
otin [3, 38]$

Пересечение: $x \in [21, 57]$ и $x 
otin [3, 38]$ даёт $x \in (38, 57]$.

На интервале $(38, 57]$ выражение $Q \land 
eg P$ уже равно 1, поэтому вся дизъюнкция истинна.

На остальных участках (где $Q \land 
eg P = 0$) необходимо, чтобы $
eg A = 1$, то есть $x 
otin A$.

Следовательно, отрезок $A$ должен быть подмножеством множества, где $Q \land 
eg P = 1$, то есть $A \subseteq (38, 57]$.

Из предложенных вариантов только $[42, 55] \subset (38, 57]$.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике