Question

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 37:

$$32x43737_{37} + 5x29_{37}37_{37}$$

В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 37-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения в десятичной системе счисления кратно 63. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 63 и укажите его в ответе.

Accepted Answer

9966867

Answer

Идея решения: перебрать все допустимые значения цифры $x$ (от 0 до 36), вычислить сумму двух чисел в десятичной системе и найти наименьшее $x$, при котором результат делится на 63.

Представим каждое число в развёрнутом виде:
- первое число: $3 \cdot 37^5 + 2 \cdot 37^4 + x \cdot 37^3 + 4 \cdot 37^2 + 3 \cdot 37 + 7$
- второе число: $5 \cdot 37^5 + x \cdot 37^4 + 2 \cdot 37^3 + 9 \cdot 37^2 + 3 \cdot 37 + 7$

Сумма этих чисел:
$$t = 8 \cdot 37^5 + (2 + x) \cdot 37^4 + (x + 2) \cdot 37^3 + 13 \cdot 37^2 + 6 \cdot 37 + 14$$

Переберём значения $x$ от 0 до 36 и найдём первое, при котором $t \equiv 0 \pmod{63}$:

```python
for x in range(37):
    t1 = 3*37**5 + 2*37**4 + x*37**3 + 4*37**2 + 3*37 + 7
    t2 = 5*37**5 + x*37**4 + 2*37**3 + 9*37**2 + 3*37 + 7
    t = t1 + t2
    if t % 63 == 0:
        print(t // 63)
        break
```

При $x = 9$ выражение впервые становится кратно 63. Частное от деления на 63 равно 9966867.

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике