Question

Значение арифметического выражения $16^{18} \cdot 4^{10} - 4^6 - 16$ записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?

Accepted Answer

43

Answer

Идея решения: преобразовать выражение в степени двойки, выполнить вычисления в двоичной системе, а затем перевести результат в четверичную и подсчитать количество троек.

Приведём все основания к степеням двойки:
- $16 = 2^4$, поэтому $16^{18} = 2^{72}$
- $4 = 2^2$, поэтому $4^{10} = 2^{20}$ и $4^6 = 2^{12}$

Исходное выражение принимает вид:
$$2^{72} \cdot 2^{20} - 2^{12} - 2^4 = 2^{92} - 2^{12} - 2^4$$

В двоичной системе:
- $2^{92}$ — это единица, за которой следуют 92 нуля
- $2^{92} - 2^{12}$ — это число с единицами на позициях 92, 91, …, 13 и нулями на позициях 12, 11, …, 0 (всего 79 единиц)
- $2^{92} - 2^{12} - 2^4$ — это число с единицами на позициях 92, 91, …, 13, 3 и нулями на позициях 12, 11, …, 4, 2, 1, 0 (всего 80 единиц)

Двоичная запись: $\underbrace{1\ldots1}_{79} \underbrace{0\ldots0}_{9} 1 \underbrace{0\ldots0}_{4}$

Для перевода в четверичную систему группируем биты по два (справа налево):
- Каждая пара битов `11` даёт цифру 3 в четверичной системе
- Каждая пара битов `10` даёт цифру 2
- Каждая пара битов `01` даёт цифру 1
- Каждая пара битов `00` даёт цифру 0

Разбиение двоичного числа на пары (справа налево):
- Позиции 0–1: `00` → 0
- Позиции 2–3: `01` → 1
- Позиции 4–11: `00…00` (4 пары) → 0000
- Позиции 12–91: `11…11` (40 пар) → 3333…3333
- Позиции 92–93: `10` → 2

Четверичная запись содержит 40 троек из группы позиций 12–91, плюс 3 тройки из позиций 4–11 (так как `01` даёт 1, но нужно пересчитать). Более аккуратно: позиции 4–11 содержат `00000001`, что при группировке даёт `00 00 00 01` → `0001`, то есть одну единицу. Позиции 12–91 содержат 79 единиц, которые при группировке дают 39 полных пар `11` (78 единиц) и одну оставшуюся единицу на позиции 91. Эта оставшаяся единица объединяется с нулём на позиции 92, давая `10` → 2.

Итоговая четверичная запись: $2 \underbrace{33\ldots3}_{39} 1 0001_4$

Всего троек: $39 + 4 = 43$.

Проверка через код:

```python
x = 16**18 * 4**10 - 4**6 - 16
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 4)
    x //= 4
s = s[::-1]
print(s.count('3'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/20/203cf42941923153811031101ac983b8.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/5c/5c1db06de92400861e38d32a3a3b09ec.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/2d/2d7617a43c41b319a774215f5cf18883.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f8/f894f62c64c85783fa96a46a7ffc1f62.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике