Question

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$$(y + 2x 
eq 48) \lor (A < x) \lor (A < y)$$

тождественно истинно (принимает значение 1) при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/13/13e8ee265bbf6530173685fa0c5c4665.svg)

Accepted Answer

15

Answer

Идея решения: найти наибольшее $A$, при котором дизъюнкция истинна для всех пар $(x, y)$; это равносильно поиску максимального $A$, при котором импликация $(y + 2x = 48) o (A \geq x \lor A \geq y)$ верна для всех точек на прямой $y + 2x = 48$. Переформулируем задачу. Выражение ложно только при одновременном выполнении всех трёх условий: - $y + 2x = 48$ - $A \geq x$ - $A \geq y$ Для истинности при всех $(x, y)$ нужно, чтобы не существовало пары, удовлетворяющей всем трём условиям одновременно. Это означает: для каждой точки $(x, y)$ на прямой $y + 2x = 48$ хотя бы одно из условий $A \geq x$ или $A \geq y$ должно быть нарушено. Найдём все целые неотрицательные точки на прямой $y + 2x = 48$: - $y = 48 - 2x$, где $x \geq 0$ и $y \geq 0$ - Условие $48 - 2x \geq 0$ даёт $x \leq 24$ - Точки: $(0, 48), (1, 46), (2, 44), \ldots, (24, 0)$ Для каждой точки $(x, y)$ на этой прямой нужно, чтобы $A < x$ или $A < y$. Это равносильно: $A < \max(x, y)$. Максимум $\max(x, y)$ на прямой достигается в точке $(0, 48)$, где $\max(0, 48) = 48$, и в точке $(24, 0)$, где $\max(24, 0) = 24$. Наименьшее значение $\max(x, y)$ по всем точкам прямой — это минимум функции $\max(x, 48 - 2x)$ при $0 \leq x \leq 24$. При $x \leq 16$: $48 - 2x \geq 2x$, поэтому $\max(x, 48 - 2x) = 48 - 2x$. При $x \geq 16$: $48 - 2x \leq 2x$, поэтому $\max(x, 48 - 2x) = x$. Минимум достигается в точке пересечения: $x = 48 - 2x \Rightarrow 3x = 48 \Rightarrow x = 16$. При $x = 16$: $y = 48 - 32 = 16$, и $\max(16, 16) = 16$. Следовательно, для всех точек на прямой $\max(x, y) \geq 16$. Чтобы условие $A < \max(x, y)$ выполнялось для всех точек, нужно $A < 16$, то есть $A \leq 15$. Проверим $A = 15$: для каждой точки $(x, y)$ на прямой $\max(x, y) \geq 16 > 15$, поэтому $A < \max(x, y)$ верно. Проверим $A = 16$: для точки $(16, 16)$ имеем $\max(16, 16) = 16 = A$, поэтому условие $A < \max(x, y)$ нарушается. Альтернативная проверка через перебор: ```python for a in range(300, 0, -1): valid = True for x in range(0, 300): for y in range(0, 300): if (y + 2 * x == 48) and (a >= x) and (a >= y): valid = False break if not valid: break if valid: print(a) break ``` Этот код ищет наибольшее $A$, при котором не существует точки $(x, y)$ с $y + 2x = 48$, $A \geq x$ и $A \geq y$ одновременно. Результат: $A = 15$.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике