Question

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии.

У исполнителя существует две команды:
- **Вперёд *n*** — передвижение на *n* единиц в направлении головы;
- **Направо *m*** — изменение направления на *m* градусов по часовой стрелке.

Запись **Повтори *k* [Команда1 Команда2 … КомандаS]** означает повторение последовательности команд *k* раз.

Черепахе был дан алгоритм:

```
Направо 90
Повтори 7 [Направо 45 Вперёд 11 Направо 45]
```

Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся **внутри** области, ограниченной линией, заданной алгоритмом. Точки на линии не учитываются.

Accepted Answer

113

Answer

Идея решения: проанализировать траекторию Черепахи, определить уравнения сторон образованного квадрата, а затем подсчитать целочисленные точки, лежащие строго внутри.

**Анализ траектории:**

Черепаха начинает в начале координат, голова направлена вверх (угол 90° от оси x). После команды «Направо 90» голова направлена вправо (угол 0°).

В цикле повторяется 7 раз:
- Направо 45 → поворот на 45° по часовой стрелке
- Вперёд 11 → движение на 11 единиц в текущем направлении
- Направо 45 → ещё поворот на 45°

После каждой пары поворотов (45° + 45° = 90°) направление меняется на 90°. Таким образом, Черепаха рисует квадрат, повёрнутый на 45° относительно осей координат, со стороной длины 11.

**Уравнения сторон квадрата:**

Стороны квадрата лежат на прямых:
- $y = x$
- $y = -x$
- $y = x - 11\sqrt{2}$
- $y = -x - 11\sqrt{2}$

**Подсчёт целочисленных точек:**

Точка $(x, y)$ с целыми координатами находится внутри квадрата, если:

$$\max(x - 11\sqrt{2}, -x - 11\sqrt{2}) < y < \min(x, -x)$$

Используем программу для подсчёта:

```python
k = 0
for x in range(-10, 11):
    for y in range(0, -20, -1):
        if max(x - 11 * 2**0.5, -x - 11 * 2**0.5) < y < min(x, -x):
            k += 1
print(k)
```

Программа перебирает все целочисленные точки в прямоугольной области, охватывающей квадрат, и проверяет условие принадлежности к внутренней части. Результат: 113 точек.

![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=236252)

Задание №6Алгоритмы и исполнителиЕГЭ по информатике