Question

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$$(x + 2y < A) \lor (y < x) \lor (y > 22)$$

тождественно истинно?

Accepted Answer

67

Answer

Идея решения: найти минимальное значение $A$, при котором логическое выражение принимает значение истина для всех пар $(x, y)$ в рассматриваемой области.

Выражение тождественно истинно, если оно истинно при всех натуральных $x$ и $y$. Это означает, что множество пар, для которых выражение ложно, должно быть пустым.

Выражение ложно только когда все три дизъюнкта ложны одновременно:
- $x + 2y \geq A$
- $y \geq x$
- $y \leq 22$

Таким образом, нужно найти минимальное $A$, при котором система

$$\begin{cases}
x + 2y \geq A \
y \geq x \
y \leq 22
\end{cases}$$

не имеет решений в целых неотрицательных числах.

Перебираем значения $A$ и для каждого проверяем, существует ли хотя бы одна пара $(x, y)$, удовлетворяющая всем трём условиям. Минимальное $A$, при котором таких пар нет, — это ответ.

```python
for a in range(0, 300):
    k = 0
    for x in range(0, 300):
        for y in range(0, 300):
            if (x + 2 * y < a) or (y < x) or (y > 22):
                k += 1
    if k == 90000:
        print(a)
        break
```

Программа перебирает значения $A$ от 0 до 299. Для каждого $A$ подсчитывает количество пар $(x, y)$ из диапазона $[0, 300) 	imes [0, 300)$, для которых выражение истинно. Когда это количество равно $90000 = 300 	imes 300$ (все пары), найдено минимальное $A$.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике