Question

Дано арифметическое выражение: $123xAB331 + 3CEx32131$ в 31-ричной системе счисления.

Переменная $x$ обозначает неизвестную цифру этой системы. Найти наибольшее возможное значение $x$, при котором сумма кратна 17. В ответе указать частное от деления суммы на 17 в десятичной системе счисления.

Accepted Answer

233409739

Answer

Идея решения: перебрать все возможные значения цифры $x$ от 30 до 0 в убывающем порядке, вычислить сумму двух чисел в десятичной системе и проверить делимость на 17.

В 31-ричной системе цифры обозначаются как $0, 1, \ldots, 9, A, B, C, \ldots, U$ (где $A = 10$, $B = 11$, $C = 12$ и т. д.).

Первое число $123xAB331_{31}$ в десятичной системе:
$$1 \cdot 31^6 + 2 \cdot 31^5 + 3 \cdot 31^4 + x \cdot 31^3 + 10 \cdot 31^2 + 11 \cdot 31^1 + 3 \cdot 31^0$$

Второе число $3CEx32131_{31}$ в десятичной системе:
$$3 \cdot 31^6 + 12 \cdot 31^5 + 14 \cdot 31^4 + x \cdot 31^3 + 3 \cdot 31^2 + 2 \cdot 31^1 + 1 \cdot 31^0$$

Переберём значения $x$ от 30 до 0 и найдём первое (максимальное), при котором сумма делится на 17:

```python
for x in range(30, -1, -1):
    t1 = (1 * 31**6 + 2 * 31**5 + 3 * 31**4 + 
          x * 31**3 + 10 * 31**2 + 11 * 31**1 + 
          3 * 31**0)
    t2 = (3 * 31**6 + 12 * 31**5 + 14 * 31**4 + 
          x * 31**3 + 3 * 31**2 + 2 * 31**1 + 
          1 * 31**0)
    if (t1 + t2) % 17 == 0:
        print((t1 + t2) // 17)
        break
```

При $x = 16$ сумма делится на 17, и частное равно 233409739.

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике