Question

Найти наименьшее целое неотрицательное число $A$, при котором выражение

$$(xy < A) \lor (y > x) \lor (x \geq 8)$$

тождественно истинно для всех целых неотрицательных $x$ и $y$.

Accepted Answer

50

Answer

Идея решения: найти область, где первые два условия ложны, и убедиться, что третье условие там истинно; затем определить минимальное $A$, при котором произведение $xy$ покрывает все оставшиеся точки. Выражение ложно только когда все три дизъюнкта ложны одновременно: - $xy \geq A$ - $y \leq x$ - $x < 8$ Таким образом, нужно найти минимальное $A$, такое что для всех целых неотрицательных $x, y$ с условиями $x < 8$ и $y \leq x$ выполняется $xy < A$. Рассмотрим область $\{(x, y) : 0 \leq x < 8, 0 \leq y \leq x\}$. В этой области произведение $xy$ достигает максимума при наибольших значениях $x$ и $y$. При $x = 7$ максимальное значение $y$ равно 7, поэтому $xy = 7 imes 7 = 49$. Следовательно, чтобы гарантировать $xy < A$ для всех точек в этой области, необходимо $A > 49$, то есть $A \geq 50$. Проверим: при $A = 50$ выражение $(xy < 50) \lor (y > x) \lor (x \geq 8)$ истинно для всех целых неотрицательных $x$ и $y$: - Если $x \geq 8$, третий дизъюнкт истинен. - Если $x < 8$ и $y > x$, второй дизъюнкт истинен. - Если $x < 8$ и $y \leq x$, то $xy \leq 7 imes 7 = 49 < 50$, первый дизъюнкт истинен. ![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=149347) ![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/f7/f741e9e8408c8d3a7e94928c8dea746f.svg)

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике