Question

На числовой прямой даны два отрезка: $P = [11, 61]$ и $Q = [31, 91]$. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок $A$, что логическое выражение

$$
eg((x \in A) \land (x \in P)) \lor (x \in Q)$$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

1) $[10, 95]$
2) $[6, 40]$
3) $[55, 100]$
4) $[20, 70]$

Accepted Answer

3

Answer

Идея решения: преобразовать логическое выражение, используя законы де Моргана, и найти условие на множество $A$, при котором формула истинна для всех $x$.

Обозначим $(x \in A) \equiv A$, $(x \in P) \equiv P$, $(x \in Q) \equiv Q$.

Преобразуем выражение по закону де Моргана:
$$
eg(A \land P) \lor Q = 
eg A \lor 
eg P \lor Q$$

Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из слагаемых. Проанализируем, где выполняется $
eg P \lor Q$:
- $
eg P$ истинно при $x 
otin [11, 61]$, то есть при $x \in (-\infty, 11) \cup (61, +\infty)$
- $Q$ истинно при $x \in [31, 91]$

Объединение: $
eg P \lor Q$ истинно на множестве $(-\infty, 11) \cup [31, +\infty)$.

На оставшемся интервале $[11, 31)$ выражение $
eg P \lor Q$ ложно. Чтобы вся дизъюнкция $
eg A \lor 
eg P \lor Q$ была истинна везде, необходимо, чтобы $
eg A$ была истинна на $[11, 31)$, то есть $A$ должно быть ложно на этом интервале.

Это означает, что $A$ не должен пересекаться с $[11, 31)$. Из предложенных вариантов:
- $[10, 95]$ — пересекается с $[11, 31)$ ✗
- $[6, 40]$ — пересекается с $[11, 31)$ ✗
- $[55, 100]$ — не пересекается с $[11, 31)$ ✓
- $[20, 70]$ — пересекается с $[11, 31)$ ✗

Проверка: при $A = [55, 100]$ на интервале $[11, 31)$ имеем $x 
otin A$, поэтому $
eg A = 1$, и вся формула истинна.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике