Question

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A логическое выражение тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x), если B = [70, 90]?

$\text{ДЕЛ}(x, A) \lor \left((x \in B) \to \neg(\text{ДЕЛ}(x, 27))\right)$

$$	ext{ДЕЛ}(x, A) \lor \left((x \in B) 	o 
eg(	ext{ДЕЛ}(x, 27))ight)$$

Accepted Answer

81

Answer

Идея решения: проверить для каждого натурального числа A в убывающем порядке, истинно ли выражение при всех натуральных x; найти первое (максимальное) такое A.

Логическое выражение должно быть истинно для всех натуральных x. Переформулируем условие: выражение ложно только если одновременно выполнены оба условия:
- $x$ не делится на $A$;
- $(x \in B) 	o 
eg(	ext{ДЕЛ}(x, 27))$ ложно.

Импликация ложна, когда посылка истинна, а следствие ложно: $x \in B$ и $x$ делится на 27.

Таким образом, выражение ложно, если $x \in B$, $x$ делится на 27 и $x$ не делится на $A$.

Для истинности при всех x необходимо, чтобы не существовало такого x. Это означает: для каждого $x \in B$, делящегося на 27, число $x$ должно делиться на $A$.

Найдём все элементы B, делящиеся на 27:

```python
B = list(range(70, 91))
divisible_by_27 = [x for x in B if x % 27 == 0]
print(divisible_by_27)
```

Получаем: [81]. Единственное число в диапазоне [70, 90], делящееся на 27, — это 81.

Следовательно, A должно делить 81. Наибольший делитель числа 81 — само число 81.

Проверим, что A = 81 удовлетворяет условию:

```python
B = list(range(70, 91))
A = 81

for x in range(1, 1000):
    expr = (x % A == 0) or ((x in B) <= (not (x % 27 == 0)))
    if not expr:
        print(f"Контрпример: x = {x}")
        break
else:
    print("A = 81 подходит")
```

Выражение истинно для всех проверяемых x.

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике