Question

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение

$$(2x + y 
eq 70) \lor (x < y) \lor (A < x)$$

тождественно истинно (принимает значение 1) при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Accepted Answer

23

Answer

Идея решения: найти все пары $(x, y)$, при которых первые два дизъюнкта ложны, и определить минимальное значение $x$ в этом множестве — оно даст верхнюю границу для $A$.

Выражение ложно только в том случае, когда все три дизъюнкта одновременно ложны:
- $2x + y = 70$
- $x \geq y$
- $A \geq x$

Следовательно, нужно найти все пары $(x, y)$ с неотрицательными целыми координатами, удовлетворяющие системе:
$$\begin{cases}
2x + y = 70 \
x \geq y
\end{cases}$$

Из первого уравнения: $y = 70 - 2x$.

Подставим во второе неравенство: $x \geq 70 - 2x$, откуда $3x \geq 70$, то есть $x \geq 23.\overline{3}$.

Так как $x$ — целое число, то $x \geq 24$.

Также требуется $y \geq 0$: $70 - 2x \geq 0$, откуда $x \leq 35$.

Таким образом, $x \in [24, 35]$. Минимальное значение $x$ равно 24.

Чтобы выражение было истинно при всех $(x, y)$, необходимо, чтобы третий дизъюнкт $A < x$ был истинным для всех пар из найденного множества. Это возможно только если $A < 24$, то есть $A \leq 23$.

Проверим программно:

```python
for A in range(100, -1, -1):
    if all([(2*x + y != 70) or (x < y) or (A < x)
            for x in range(100) for y in range(100)]):
        print(A)
        break
```

Программа перебирает значения $A$ от 100 вниз и проверяет, истинно ли выражение для всех пар $(x, y)$ из диапазона $[0, 99]$. Первое найденное значение — искомое.

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/ba/bab49d13d7b6cb2c8c392dc039d5692e.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/05/058dfb5147949b83d137ce8ca115944f.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/8c/8cca720d1b18ad28017c91fcf9da0146.svg)

![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=148610)

Задание №15Математическая логикаЕГЭ по информатике