Question

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет след в виде линии.

Команды исполнителя:
- **Поднять хвост** — переход к перемещению без рисования
- **Опустить хвост** — переход в режим рисования
- **Вперёд n** — передвижение на n единиц в направлении головы
- **Назад n** — передвижение на n единиц в противоположном направлении
- **Направо m** — поворот на m градусов по часовой стрелке
- **Налево m** — поворот на m градусов против часовой стрелки
- **Повтори k [...]** — повторение последовательности команд k раз

Черепахе дан алгоритм:

```
Повтори 2 [Вперёд 3 Налево 90 Назад 10 Налево 90]
Поднять хвост
Назад 10
Направо 90
Вперёд 8
Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 16 Направо 90 Вперёд 8 Направо 90]
```

Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченных линиями, включая точки на границах.

Accepted Answer

185

Answer

Идея решения: выполнить алгоритм движения Черепахи, отследить все нарисованные линии, затем подсчитать целочисленные точки, попадающие внутрь или на границу полученной фигуры.

**Шаг 1. Трассировка движения Черепахи**

Начальное состояние: позиция $(0, 0)$, направление — вверх (угол $90°$ от оси $x$), хвост опущен.

Первый цикл `Повтори 2`:
- Итерация 1: вперёд 3 → $(0, 3)$; налево 90 → направление влево; назад 10 → $(-10, 3)$; налево 90 → направление вниз.
- Итерация 2: вперёд 3 → $(-10, 0)$; налево 90 → направление вправо; назад 10 → $(0, 0)$; налево 90 → направление вверх.

Результат: замкнутый прямоугольник с вершинами $(0, 0)$, $(0, 3)$, $(-10, 3)$, $(-10, 0)$.

Команды перемещения без рисования:
- Поднять хвост
- Назад 10 → $(-10, 0)$
- Направо 90 → направление вправо
- Вперёд 8 → $(-2, 0)$
- Налево 90 → направление вверх

Второй цикл `Повтори 2` (хвост опущен):
- Итерация 1: вперёд 16 → $(-2, 16)$; направо 90 → направление вправо; вперёд 8 → $(6, 16)$; направо 90 → направление вниз.
- Итерация 2: вперёд 16 → $(6, 0)$; направо 90 → направление вправо; вперёд 8 → $(14, 0)$; направо 90 → направление вниз.

Результат: прямоугольник с вершинами $(-2, 0)$, $(-2, 16)$, $(6, 16)$, $(6, 0)$.

**Шаг 2. Определение фигур**

Первая фигура: прямоугольник с углами $(0, 0)$, $(0, 3)$, $(-10, 3)$, $(-10, 0)$.
- Ширина: 10, высота: 3
- Количество целочисленных точек: $11 	imes 4 = 44$

Вторая фигура: прямоугольник с углами $(-2, 0)$, $(-2, 16)$, $(6, 16)$, $(6, 0)$.
- Ширина: 8, высота: 16
- Количество целочисленных точек: $9 	imes 17 = 153$

**Шаг 3. Пересечение фигур**

Пересечение: прямоугольник с углами $(-2, 0)$, $(-2, 3)$, $(0, 3)$, $(0, 0)$.
- Ширина: 2, высота: 3
- Количество целочисленных точек: $3 	imes 4 = 12$

**Шаг 4. Подсчёт объединения**

По принципу включения-исключения:
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 44 + 153 - 12 = 185$$

![Рисунок](https://inf-ege.sdamgia.ru/get_file?id=141555)

Задание №6Алгоритмы и исполнителиЕГЭ по информатике