Question

Значение арифметического выражения $9^8 \cdot 3^{20} - 3^{10} - 3$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

Accepted Answer

34

Answer

Идея решения: преобразуем выражение в степени тройки, затем анализируем его троичное представление, отслеживая переносы при вычитании.

Перепишем выражение через степени тройки:
- $9^8 = (3^2)^8 = 3^{16}$
- Исходное выражение: $3^{16} \cdot 3^{20} - 3^{10} - 3 = 3^{36} - 3^{10} - 3$

Вычислим $3^{36} - 3^{10}$:

В троичной системе $3^{36}$ — это единица, за которой следуют 36 нулей: $1\underbrace{00\ldots0}_{36}$.

Число $3^{10}$ — единица с 10 нулями: $1\underbrace{00\ldots0}_{10}$.

При вычитании $3^{36} - 3^{10}$ получаем:
$$1\underbrace{00\ldots0}_{36} - 1\underbrace{00\ldots0}_{10} = 2\underbrace{22\ldots2}_{26}1\underbrace{00\ldots0}_{10}$$

(26 двоек, затем единица, затем 10 нулей)

Теперь вычтем 3:

Число 3 в троичной системе — это $10_3$. Вычитаем из последнего нуля:
$$2\underbrace{22\ldots2}_{26}1\underbrace{00\ldots0}_{10} - 10_3 = 2\underbrace{22\ldots2}_{26}1\underbrace{00\ldots0}_{9}2 - 1$$

После заёма из разряда с единицей:
$$2\underbrace{22\ldots2}_{25}2\underbrace{22\ldots2}_{9}2$$

Итоговое представление содержит 25 двоек (в старшей части), затем одну двойку, затем 9 двоек (в младшей части), всего **34 двойки**.

Проверка вычислением на Python:

```python
x = (9**8) * (3**20) - 3**10 - 3
s = ''
while x != 0:
    s += str(x % 3)
    x //= 3
s = s[::-1]
print(s.count('2'))
```

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/e2/e27bc7f1b2642fb238fd0d1c3f1aa9a8.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/68/68577084a924beaa5ec2c00b120cb9c0.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/b5/b56341059db7344cedbb07da01f4b30e.svg)

![Рисунок](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/17/17edd8ca2cf5a4117beda8030ab795a0.svg)

Задание №14Системы счисления и арифметикаЕГЭ по информатике